Analyse en Composantes Principales (ACP)
Réduction de dimension par diagonalisation
Enonce
Implémenter acp(X, k) qui renvoie (X_reduit, variance_expliquee). Tester sur un jeu 3D où les points sont presque alignés sur un plan : la projection en 2D doit préserver presque toute la variance.
Signature attendue
def acp(X, k: int) -> tuple:📖 Rappel de cours
L'ACP projette les données sur un sous-espace de dimension $k < p$ qui maximise la variance préservée. C'est le pilier de la réduction de dimension non supervisée et de la visualisation de données en haute dimension.
Algorithme :
- Centrer les données : $\tilde{X} = X - \bar{X}$
- Calculer la matrice de covariance $\Sigma = \frac{1}{n-1}\tilde{X}^T\tilde{X}$
- Diagonaliser $\Sigma$ : $\Sigma v_i = \lambda_i v_i$ avec $\lambda_1 \geq \lambda_2 \geq \cdots \geq \lambda_p \geq 0$
- Garder les $k$ premiers vecteurs propres (les composantes principales)
- Projeter : $X_{\text{réduit}} = \tilde{X} \, V_k$
Variance expliquée :
$\text{var\_expl}_k = \frac{\sum_{i=1}^k \lambda_i}{\sum_{i=1}^p \lambda_i}$
$\Sigma$ est symétrique réelle donc diagonalisable dans une base orthonormée (théorème spectral). On utilise np.linalg.eigh qui exploite cette propriété et garantit des valeurs propres réelles.
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La correction commentee, les indices progressifs, l'execution du code dans le navigateur et la verification par l'IA sont reserves aux abonnes.