Marche Aléatoire 2D
Mouvement brownien discret — Monte Carlo
Enonce
Implémenter marche_aleatoire(n) qui simule $n$ pas et retourne le couple final (x, y).
⚠ Bonus : Estimer $\mathbb{E}[r_n^2]$ par moyenne sur $M$ marches indépendantes et vérifier que le résultat tend vers $n$.
Signature attendue
def marche_aleatoire(n: int) -> tuple:📖 Rappel de cours
Une marche aléatoire simule un déplacement où chaque pas est tiré aléatoirement. À chaque itération, on tire un angle $\theta\sim\mathcal{U}([0,2\pi])$ et on avance d'un pas constant.
Mise à jour :
$x_{k+1} = x_k + \cos\theta_k,\qquad y_{k+1} = y_k + \sin\theta_k$
Distance quadratique moyenne :
$\mathbb{E}[\,r_n^2\,] = n$
Loi du $\sqrt{n}$ : la distance typique à l'origine après $n$ pas est $\sqrt{n}$, pas $n$.
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