Exercices d'analyse numérique en Python — dichotomie, Newton, intégration
Résolution d'équations, intégration approchée, équations différentielles, systèmes linéaires : les méthodes numériques du programme, en Python.
Là où les mathématiques et l'informatique se rejoignent
Ces exercices sont ceux que les élèves sous-estiment le plus, parce qu'ils ressemblent à du cours de maths. Ils n'en sont pas : la difficulté n'est pas la formule, elle est dans la condition d'arrêt, le nombre d'itérations et le comportement de la méthode quand elle ne converge pas.
Les méthodes au programme
Résolution d'équations : dichotomie, méthode de Newton, sécante, point fixe. Intégration approchée : rectangles, trapèzes, Simpson, avec l'ordre de l'erreur associé. Équations différentielles : Euler explicite, Heun, Runge-Kutta d'ordre 4. Algèbre linéaire : pivot de Gauss, décomposition LU, méthodes itératives. Et l'interpolation de Lagrange, ainsi que les moindres carrés.
Le piège du test d'égalité entre flottants
Une boucle while x != 0 sur des flottants ne s'arrête jamais. Un critère d'arrêt se formule toujours comme abs(b - a) > eps, et il se double d'un compteur d'itérations maximum. Une méthode de Newton mal amorcée diverge : sans ce garde-fou, ton programme tourne indéfiniment, ce qui se voit à la correction.
Un résultat approché reste un résultat
Les exemples ci-dessous sont arrondis, volontairement : 0.3350000000000001 n'apprend rien de plus que 0.335 et masque l'essentiel, qui est l'ordre de l'erreur. Quand on double le nombre de subdivisions, l'erreur des trapèzes est divisée par quatre : c'est cela qu'on te demandera de constater et d'expliquer.
Les exercices
Analyse numerique 22 exercices
- Méthode de Dichotomie Résolution de f(x) = 0
- Méthode des Trapèzes Intégration numérique
- Méthode de Newton Résolution de f(x)=0 — convergence quadratique
- Méthode d'Euler Résolution numérique d'EDO y'=f(t,y)
- Méthode de Simpson Intégration numérique d'ordre 4
- Interpolation de Lagrange Polynôme passant par n points
- Méthode des Rectangles (Point Milieu) Intégration numérique simple
- Résolution de Systèmes Linéaires (Pivot de Gauss) Élimination et substitution arrière
- Décomposition LU Factorisation A = LU pour systèmes multiples
- Méthode de la Sécante Approximation sans dérivée
- Dérivation Numérique Différences finies — ordre 1 vs ordre 2
- Méthode du Point Fixe Itération $x_{n+1} = g(x_n)$
- Méthode de Heun (RK2) Euler amélioré — schéma prédicteur-correcteur d'ordre 2
- Méthode de Runge-Kutta d'Ordre 4 (RK4) Le standard de l'intégration d'EDO
- Méthode des Moindres Carrés Régression linéaire $y = ax + b$
- Méthode de Jacobi Résolution itérative de $Ax = b$
- Méthode de Romberg Extrapolation de Richardson sur les trapèzes
- Interpolation Bilinéaire Reconstruction d'un pixel non entier
- Géométrie 3D — Vecteurs Produit scalaire, norme, produit vectoriel
- Marche Aléatoire 2D Mouvement brownien discret — Monte Carlo
- Algorithme de Metropolis Monte Carlo — échantillonnage par chaîne de Markov
- Intersection Rayon-Sphère Optique géométrique — base du ray tracing
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