Méthode de Runge-Kutta d'Ordre 4 (RK4)
Le standard de l'intégration d'EDO
Enonce
Implémenter rk4(f, t0, y0, tf, n) qui résout l'EDO $y' = f(t, y)$ par RK4. Renvoyer les listes T et Y.
Tester sur $y' = y$, $y(0) = 1$ sur $[0, 1]$ avec $n \in \{5, 10, 20\}$.
⚠ Bonus : Comparer avec Euler ($n = 10^6$) et Heun ($n = 10^3$). RK4 avec seulement 10 pas bat largement Euler avec un million de pas. Vérifier que doubler $n$ divise l'erreur par 16 (ordre 4).
Signature attendue
def rk4(f, t0: float, y0: float, tf: float, n: int) -> tuple:📖 Rappel de cours
La méthode RK4 (Runge-Kutta classique) est l'algorithme d'intégration d'EDO le plus utilisé en pratique. Elle évalue la pente en quatre points par pas et combine les résultats pour atteindre l'ordre 4.
Schéma RK4 :
$\begin{aligned} k_1 &= f(t_n,\ y_n) \\ k_2 &= f\!\left(t_n + \tfrac{h}{2},\ y_n + \tfrac{h}{2}k_1\right) \\ k_3 &= f\!\left(t_n + \tfrac{h}{2},\ y_n + \tfrac{h}{2}k_2\right) \\ k_4 &= f(t_n + h,\ y_n + h\,k_3) \\ y_{n+1} &= y_n + \frac{h}{6}\bigl(k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4\bigr) \end{aligned}$
Erreur :
Erreur locale : $O(h^5)$ — Erreur globale : $O(h^4)$ — méthode d'ordre 4.
Coefficients $1, 2, 2, 1$ : on donne plus de poids aux deux pentes du milieu ($k_2, k_3$). Cette pondération imite la méthode de Simpson appliquée à l'intégration de $f$.
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