Méthode des Moindres Carrés
Régression linéaire $y = ax + b$
Enonce
Implémenter moindres_carres(X, Y) qui renvoie le couple $(\hat{a}, \hat{b})$ de la droite de régression.
Tester avec un nuage de points bruité autour de $y = 2x + 1$ : par exemple X = [0, 1, 2, 3, 4] et Y = [1.1, 2.9, 5.2, 6.8, 9.1]. On doit retrouver $\hat{a} \approx 2$ et $\hat{b} \approx 1$.
⚠ Bonus : Calculer aussi le coefficient de détermination $R^2$ pour quantifier la qualité de l'ajustement.
Signature attendue
def moindres_carres(X: list, Y: list) -> tuple:📖 Rappel de cours
Étant donné $n$ points expérimentaux $(x_i, y_i)$, on cherche la droite $y = ax + b$ qui minimise la somme des carrés des écarts verticaux :
$E(a, b) = \sum_{i=1}^{n} \bigl(y_i - (a x_i + b)\bigr)^2$
Solution explicite (annulation du gradient) :
$\hat{a} = \frac{\sum_i (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum_i (x_i - \bar{x})^2} \qquad \hat{b} = \bar{y} - \hat{a}\,\bar{x}$
avec $\bar{x} = \frac{1}{n}\sum x_i$ et $\bar{y} = \frac{1}{n}\sum y_i$.
Géométriquement : on projette orthogonalement le vecteur $(y_1, \ldots, y_n)$ sur le sous-espace engendré par $(x_1, \ldots, x_n)$ et $(1, \ldots, 1)$.
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