Méthode de Heun (RK2)
Euler amélioré — schéma prédicteur-correcteur d'ordre 2
Enonce
Implémenter heun(f, t0, y0, tf, n) qui résout $y' = f(t, y)$ avec la méthode de Heun. Renvoyer les listes T et Y.
Tester sur $y' = y$, $y(0) = 1$ (solution exacte $e^t$) sur $[0, 1]$ avec $n \in \{10, 100, 1000\}$.
⚠ Bonus : Vérifier que multiplier $n$ par 10 divise l'erreur par environ 100 (ordre 2), contre 10 pour Euler (ordre 1).
Signature attendue
def heun(f, t0: float, y0: float, tf: float, n: int) -> tuple:📖 Rappel de cours
La méthode de Heun (aussi appelée Euler amélioré ou RK2) raffine Euler en évaluant la pente en deux points et en moyennant.
Schéma prédicteur-correcteur :
$\begin{aligned} k_1 &= f(t_n, y_n) \\ \tilde{y} &= y_n + h\,k_1 \quad \text{(prédiction Euler)} \\ k_2 &= f(t_n + h, \tilde{y}) \\ y_{n+1} &= y_n + \frac{h}{2}(k_1 + k_2) \end{aligned}$
Erreur :
Erreur locale : $O(h^3)$ — Erreur globale : $O(h^2)$ — méthode d'ordre 2.
Deux fois plus coûteuse qu'Euler par pas (deux évaluations de $f$), mais pour la même précision il faut bien moins de pas → gain net.
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