Méthode du Point Fixe
Itération $x_{n+1} = g(x_n)$
Enonce
Implémenter point_fixe(g, x0, eps, max_iter) qui itère $x_{n+1} = g(x_n)$ jusqu'à ce que $|x_{n+1} - x_n| < \varepsilon$ ou que max_iter soit atteint.
Tester avec $g(x) = \cos(x)$, $x_0 = 0{,}5$. La suite converge vers le célèbre point fixe de $\cos$, environ $0{,}7390851332$.
⚠ Bonus : Tester aussi avec $g(x) = (x + 2/x) / 2$ (point fixe = $\sqrt{2}$, convergence quadratique car $g'(\sqrt{2}) = 0$).
Signature attendue
def point_fixe(g, x0: float, eps: float, max_iter: int) -> float:Exemples
point_fixe(math.cos, 0.5)→0.7390851332502528point_fixe(lambda x: (x + 2 / x) / 2, 1.5)→1.414213562373095
📖 Rappel de cours
Pour résoudre $f(x) = 0$, on peut le réécrire sous la forme $x = g(x)$ et itérer $x_{n+1} = g(x_n)$. Si la suite converge vers $\ell$, alors $\ell = g(\ell)$ : c'est un point fixe de $g$.
Théorème de point fixe (Banach simplifié) :
Si $g$ est de classe $C^1$ sur un intervalle $I$ stable par $g$ (c.-à-d. $g(I) \subset I$), et s'il existe $k < 1$ tel que $|g'(x)| \leq k$ pour tout $x \in I$, alors :
- $g$ admet un unique point fixe $\ell$ dans $I$ ;
- la suite $(x_n)$ converge vers $\ell$ pour tout $x_0 \in I$ ;
- $|x_n - \ell| \leq k^n |x_0 - \ell|$ — convergence linéaire de raison $k$.
Plus $|g'(\ell)|$ est petit, plus la convergence est rapide. Si $|g'(\ell)| \geq 1$, la suite diverge en général.
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