Décomposition LU
Factorisation A = LU pour systèmes multiples
Enonce
Implémenter la décomposition LU (sans pivotement). Puis résoudre $Ax=b$ via descente et remontée.
Tester avec $A = \begin{pmatrix}2&1&1\\4&3&3\\8&7&9\end{pmatrix}$ et $b=(1,1,1)$.
Signature attendue
def decomposition_lu(A: list) -> tuple:Exemple
decomposition_lu([[4, 3], [6, 3]])→([[1.0, 0.0], [1.5, 1.0]], [[4, 3], [0.0, -1.5]])
📖 Rappel de cours
La décomposition LU factorise $A = LU$ où $L$ est triangulaire inférieure (diagonale de 1) et $U$ triangulaire supérieure. On résout ensuite $Ly = b$ puis $Ux = y$.
Principe :
$A = LU \quad\Rightarrow\quad Ax = b \iff \begin{cases} Ly = b & \text{(descente)} \\ Ux = y & \text{(remontée)} \end{cases}$
Avantage : une fois $L$ et $U$ calculés ($O(n^3)$), chaque nouveau second membre $b$ se résout en $O(n^2)$.
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