Dérivation Numérique
Différences finies — ordre 1 vs ordre 2
Enonce
Implémenter derivee_centree(f, x, h) qui approche $f'(x)$ par différence centrée. Tester sur $f(x) = \sin(x)$ en $x = 1$ : la valeur exacte est $\cos(1) \approx 0{,}5403$.
⚠ Bonus : Comparer pour $h \in \{10^{-1}, 10^{-3}, 10^{-6}, 10^{-10}, 10^{-14}\}$ et observer la vallée d'erreur : trop grand, l'erreur de troncature domine ; trop petit, les erreurs d'arrondi prennent le dessus.
Signature attendue
def derivee_centree(f, x: float, h: float) -> float:📖 Rappel de cours
Pour approcher $f'(x)$ sans connaître la dérivée formelle, on utilise les différences finies. Trois schémas classiques :
Différence avant (ordre 1) :
$f'(x) \approx \frac{f(x+h) - f(x)}{h} + O(h)$
Différence arrière (ordre 1) :
$f'(x) \approx \frac{f(x) - f(x-h)}{h} + O(h)$
Différence centrée (ordre 2) :
$f'(x) \approx \frac{f(x+h) - f(x-h)}{2h} + O(h^2)$
Les erreurs de troncature en $O(h)$ ou $O(h^2)$ tendent vers 0 quand $h \to 0$, mais les erreurs d'arrondi machine explosent (division par un $h$ minuscule). Il existe un $h$ optimal.
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