Exercices Python pour la prépa ECG — probabilités, matrices, suites
Simulation de lois, méthode de Monte-Carlo, chaînes de Markov, matrices avec numpy : les exercices d'informatique des prépas économiques et commerciales.
Un programme différent, un état d'esprit différent
En voie économique, l'informatique n'est pas une fin : c'est un outil au service du cours de mathématiques. On simule pour illustrer un résultat de probabilité, on itère pour observer une convergence. Les questions posées sont donc plus courtes qu'en voie scientifique, mais elles supposent de comprendre ce qu'on simule.
Ce qui revient chaque année
Simulation de lois : Bernoulli, binomiale, géométrique, Poisson, uniforme — à partir de random ou de numpy.random. Méthode de Monte-Carlo : estimation d'une probabilité ou d'une intégrale par répétition, et l'illustration de la loi des grands nombres. Recherche de seuil : la boucle while qui cherche le plus petit rang à partir duquel une suite dépasse une valeur — un classique absolu. Matrices : produit, puissance, systèmes linéaires, et les chaînes de Markov qui en découlent.
La boucle while de recherche de seuil
Si un seul schéma devait être su par cœur, ce serait celui-là. On initialise le terme et le rang, on boucle tant que la condition n'est pas atteinte, on renvoie le rang. Les deux fautes classiques : incrémenter le rang au mauvais endroit, ce qui donne un décalage de un ; et oublier que la boucle peut ne jamais s'arrêter si la suite ne converge pas comme prévu.
Une simulation n'a pas de résultat exact
Les exercices utilisant le hasard n'ont volontairement pas d'exemple chiffré ici : afficher « le résultat attendu » d'un tirage aléatoire serait faux. Ce que tu dois vérifier, c'est un ordre de grandeur et une tendance quand le nombre de répétitions augmente — pas une égalité.
Les exercices
Prepa ECG — probabilites et matrices 49 exercices
- Simulation d'un dé Loi uniforme discrète & fréquences empiriques
- Estimation de $\pi$ par Monte Carlo Simulation géométrique & convergence
- Paradoxe des anniversaires Probabilité de collision dans un groupe
- Moyenne et variance empiriques Statistiques descriptives from scratch
- Coefficient de corrélation Mesure de dépendance linéaire
- Loi des grands nombres Convergence de la moyenne empirique
- Produit matriciel Implémentation from scratch vs numpy
- Résolution d'un système linéaire Équilibre de marché multi-bien
- Puissance rapide d'une matrice Exponentiation en $O(\log n)$
- Chaîne de Markov — distribution à $n$ étapes Matrice de transition & puissance matricielle
- Distribution stationnaire d'une chaîne de Markov Régime limite par itération
- Mensualité d'un prêt à taux fixe Suite géométrique & amortissement
- Simulation d'une loi de Bernoulli Tirage binaire & fréquence de succès
- Simulation d'une loi binomiale Somme de $n$ Bernoulli & distribution empirique
- Simulation d'une loi géométrique Temps d'attente du premier succès
- Probabilités empiriques d'une loi de Poisson Événements rares & limite de la binomiale
- Loi uniforme discrète Tirage uniforme sur $[\![a, b]\!]$
- Problème du collectionneur de vignettes Espérance du temps de collection complète
- Problème de Monty Hall Changer ou garder ? Simulation bayésienne
- Marche aléatoire 1D — temps d'atteinte Espérance du premier passage en $\pm n$
- Ruine du joueur Probabilité d'atteindre 0 avant $N$
- Théorème Central Limite — illustration empirique La moyenne empirique devient gaussienne
- Médiane et quartiles Statistiques de position
- Mode d'une série statistique Valeur la plus fréquente
- Histogramme par buckets Comptage dans des classes
- Covariance empirique Mesure de variation conjointe
- Somme d'une série géométrique Formule fermée vs sommation explicite
- Approximation de $\pi$ par la formule de Leibniz Série alternée — vitesse de convergence lente
- Suite arithmético-géométrique $u_{n+1} = a \cdot u_n + b$ — terme général & limite
- Convergence d'une suite récurrente Itération de $u_{n+1} = f(u_n)$ jusqu'au point fixe
- Intégration numérique par Simpson Précision d'ordre 4 sur polynômes cubiques
- Inverse d'une matrice Vérification de $A A^{-1} = I$
- Déterminant d'une matrice Volume signé & inversibilité
- Valeurs propres d'une matrice Spectre & diagonalisation
- Pivot de Gauss-Jordan Résolution de $A x = b$ from scratch
- Diagonalisation explicite d'une matrice 2×2 Valeurs propres et vecteurs propres à la main
- Suite récurrente linéaire $u_{n+1} = A \, u_n$ Calcul du $n$-ième terme par puissance matricielle
- Construire la matrice de transition Du graphe au tableau numérique
- Temps moyen d'atteinte d'un état Espérance du premier passage
- Probabilité d'absorption en $n$ étapes Distribution sur un état absorbant
- Chaîne de Markov à 3 états — sujet type concours Analyse complète d'une chaîne classique
- Simuler une trajectoire de chaîne de Markov Tirage pas-à-pas selon la matrice de transition
- Ergodicité — convergence vers la distribution stationnaire Observer empiriquement que le passé s'oublie
- Intérêts composés — capitalisation Suite géométrique & effet d'accumulation
- Valeur Actuelle Nette (VAN) Évaluer un projet d'investissement
- TRI — Taux de Rentabilité Interne Résoudre VAN$(r) = 0$ par dichotomie
- Régression linéaire multiple Moindres carrés matriciels
- Coefficient de détermination $R^2$ Qualité d'ajustement d'une régression
- Intervalle de confiance pour une proportion Approximation gaussienne via TCL
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