Déterminant d'une matrice
Volume signé & inversibilité
Enonce
Calculer le déterminant de $A$ et le retourner sous forme de float.
Signature attendue
def determinant(A: np.ndarray) -> float:📖 Rappel de cours
Le déterminant $\det(A)$ d'une matrice carrée $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ est un scalaire qui encode des propriétés géométriques et algébriques :
- $\det(A) \neq 0 \iff A$ inversible
- $\det(A B) = \det(A) \det(B)$
- $\det(A^T) = \det(A)$ et $\det(A^{-1}) = 1 / \det(A)$
- Géométriquement : $|\det(A)|$ = volume du parallélépipède formé par les colonnes de $A$
Formule pour une 2×2 :
$\det \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad - bc$
En numpy : np.linalg.det(A). Pour $n \geq 4$, la formule de Leibniz (développement sur les permutations) est en $O(n!)$ — inutilisable en pratique. Numpy utilise la décomposition LU en $O(n^3)$.
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