Convergence d'une suite récurrente
Itération de $u_{n+1} = f(u_n)$ jusqu'au point fixe
Enonce
Itérer $u_{n+1} = f(u_n)$ à partir de u0 jusqu'à ce que $|u_{n+1} - u_n| < $ tol. Limiter à max_iter itérations par sécurité. Retourner le couple (limite_approchee, nombre_iterations).
Signature attendue
def iterer_jusqu_a_convergence(f, u0: float, tol: float = 1e-9, max_iter: int = 10000) -> tuple:Exemples
iterer_jusqu_a_convergence(math.cos, 1.0)→(0.7390851335357372, 52)iterer_jusqu_a_convergence((lambda x: (x + 2 / x) / 2), 1.5)→(1.414213562373095, 4)
📖 Rappel de cours
Pour une suite $u_{n+1} = f(u_n)$ avec $f$ contractante sur un intervalle stable ($|f'(x)| \leq k < 1$), la suite converge vers l'unique point fixe $\ell$ de $f$.
Critère d'arrêt pratique :
$|u_{n+1} - u_n| < \varepsilon$
On arrête quand l'écart entre 2 termes consécutifs passe sous la tolérance.
Vitesse de convergence : si $|f'(\ell)| = k < 1$, alors $|u_n - \ell| \approx k^n \cdot |u_0 - \ell|$ — convergence géométrique de raison $k$.
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