Suite arithmético-géométrique
$u_{n+1} = a \cdot u_n + b$ — terme général & limite
Enonce
Calculer $u_n$ avec la forme close (évaluée en $O(\log n)$ via ** de Python). Gérer le cas $a = 1$ à part.
Signature attendue
def terme_general(u0: float, a: float, b: float, n: int) -> float:Exemple
terme_general(5, 1, 3, 10)→35
📖 Rappel de cours
Une suite arithmético-géométrique vérifie $u_{n+1} = a \cdot u_n + b$ avec $a \neq 1$.
Point fixe & forme close :
$\ell = \frac{b}{1 - a}, \quad u_n = a^n (u_0 - \ell) + \ell$
Comportement asymptotique :
- Si $|a| < 1$ : $u_n \to \ell$
- Si $|a| > 1$ : $|u_n| \to +\infty$ (sauf si $u_0 = \ell$)
- Si $a = 1$ : $u_n = u_0 + n \cdot b$ (suite arithmétique)
Application éco : évolution d'un prix avec inflation constante, dynamique de populations avec migrations, amortissement de prêts.
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