Intégration numérique par Simpson
Précision d'ordre 4 sur polynômes cubiques
Enonce
Calculer une approximation de $\int_a^b f(x) \,dx$ par Simpson composé avec n sous-intervalles. Si n est impair, le rendre pair (ajouter 1). Retourner le float.
Signature attendue
def simpson(f, a: float, b: float, n: int) -> float:Exemple
simpson(lambda x: x**2, 0, 1, 100)→0.3333333333333334
📖 Rappel de cours
La méthode de Simpson approxime $\int_a^b f(x) \,dx$ en interpolant $f$ par des paraboles sur chaque paire d'intervalles.
Formule composée (n pair) :
$I \approx \frac{h}{3} \left[ f(x_0) + f(x_n) + 4 \sum_{k \text{ impair}} f(x_k) + 2 \sum_{k \text{ pair, } \neq 0, n} f(x_k) \right]$
avec $h = \frac{b - a}{n}$ et $x_k = a + k h$.
Avantage : exacte sur les polynômes de degré $\leq 3$. Erreur : $O(h^4)$ contre $O(h^2)$ pour les trapèzes. Donc diviser $h$ par 2 divise l'erreur par 16.
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