Diagonalisation explicite d'une matrice 2×2
Valeurs propres et vecteurs propres à la main
Enonce
Pour une $A$ $2 \times 2$ réelle diagonalisable sur $\mathbb{R}$, retourner le couple $(P, D)$ tel que $A = P \cdot D \cdot P^{-1}$ avec $D$ diagonale et $P$ matrice des vecteurs propres en colonnes. Lever ValueError si non diagonalisable dans $\mathbb{R}$.
Signature attendue
def diagonaliser_2x2(A: np.ndarray) -> tuple:Exemple
diagonaliser_2x2(np.array([[4.0, 1.0], [2.0, 3.0]]))[1].tolist()→[[5.0, 0.0], [0.0, 2.0]]
📖 Rappel de cours
Pour une matrice $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ les valeurs propres sont les racines du polynôme caractéristique :
$\chi_A(X) = X^2 - \text{tr}(A) \cdot X + \det(A) = X^2 - (a+d)X + (ad - bc)$
Discriminant et racines :
$\Delta = \text{tr}^2 - 4 \det, \quad \lambda_{1, 2} = \frac{\text{tr} \pm \sqrt{\Delta}}{2}$
Vecteur propre associé à $\lambda$ :
Résoudre $(A - \lambda I) v = 0$. Si $b \neq 0$, $v = (b, \lambda - a)$ convient.
Si $\Delta < 0$, $A$ a des valeurs propres complexes conjuguées et n'est pas diagonalisable dans $\mathbb{R}$ (lever une erreur).
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