Temps moyen d'atteinte d'un état
Espérance du premier passage
Enonce
Calculer le vecteur h des temps moyens d'atteinte de cible depuis chaque état. Hypothèse : la cible est atteignable depuis tous les états.
Signature attendue
def temps_atteinte(P: np.ndarray, cible: int) -> np.ndarray:📖 Rappel de cours
Soit $T_\text{cible}$ le premier instant où la chaîne atteint un état cible. On cherche $h_i = \mathbb{E}(T_\text{cible} \mid X_0 = i)$ pour chaque état $i$.
Équations du système :
$h_\text{cible} = 0, \qquad h_i = 1 + \sum_{j} P_{ij} \cdot h_j \ \text{pour } i \neq \text{cible}$
Matriciellement : on remplace la ligne cible de $P$ par des zéros, et on résout $(I - P') \cdot h = \mathbf{1}_{\neq \text{cible}}$.
Interprétation : depuis chaque état, on fait un pas (+1) puis on repart avec l'espérance depuis le nouvel état. L'état cible a un temps d'atteinte nul (on y est déjà).
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