Chaîne de Markov à 3 états — sujet type concours
Analyse complète d'une chaîne classique
Enonce
Retourner un dictionnaire avec 4 clés :
- 'pi_n' : la distribution après n étapes
- 'etat_plus_probable_n' : l'indice de l'état le plus probable à l'instant n
- 'stationnaire' : la distribution stationnaire (itération à 1000 étapes)
- 'trace_esperance' : la trace de la matrice (somme des VP, invariant théorique)
Signature attendue
def analyser_chaine(P: np.ndarray, pi0: np.ndarray, n: int) -> dict:Exemple
analyser_chaine(np.array([[0.5, 0.5], [0.2, 0.8]]), np.array([1.0, 0.0]), 2)["pi_n"].round(4).tolist()→[0.35, 0.65]
📖 Rappel de cours
Un sujet type concours ECG demande souvent d'étudier une chaîne à 3 états en répondant à plusieurs questions :
- Calculer la distribution après $n$ étapes : $\pi_n = \pi_0 \cdot P^n$
- Trouver l'état le plus probable à l'instant $n$
- Estimer la distribution stationnaire par itération
- Observer que la distribution initiale n'a plus d'influence à long terme (ergodicité)
On va regrouper ces calculs dans un dictionnaire de résultats, pratique pour des sujets style rapport d'analyse.
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Exercices du meme theme
- Construire la matrice de transition
- Temps moyen d'atteinte d'un état
- Probabilité d'absorption en $n$ étapes
- Simuler une trajectoire de chaîne de Markov
- Ergodicité — convergence vers la distribution stationnaire
- Intérêts composés — capitalisation
La correction commentee, les indices progressifs, l'execution du code dans le navigateur et la verification par l'IA sont reserves aux abonnes.