Ergodicité — convergence vers la distribution stationnaire
Observer empiriquement que le passé s'oublie
Enonce
Retourner une matrice de forme (max_iter + 1, n_etats) où la ligne $k$ est la distribution $\pi_k$ après $k$ étapes.
Signature attendue
def evolution_distribution(P: np.ndarray, pi0: np.ndarray, max_iter: int) -> np.ndarray:📖 Rappel de cours
Une chaîne de Markov finie, irréductible (on peut aller de tout état à tout autre) et apériodique (retour possible sans période fixe), est ergodique : quelle que soit la distribution initiale $\pi_0$, $\pi_n \to \pi^*$ vers l'unique distribution stationnaire.
Vitesse de convergence :
Géométrique, avec un taux lié au trou spectral (différence entre la valeur propre 1 et la 2ème en module) : $\|\pi_n - \pi^*\| \leq C \cdot |\lambda_2|^n$.
On va retourner la séquence complète $(\pi_0, \pi_1, ..., \pi_\text{max\_iter})$ pour pouvoir tracer la convergence, observer la vitesse et comparer plusieurs points de départ.
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