Pivot de Gauss-Jordan
Résolution de $A x = b$ from scratch
Enonce
Résoudre $A x = b$ par pivot de Gauss-Jordan sans utiliser np.linalg.solve ou np.linalg.inv. On suppose $A$ inversible.
Signature attendue
def gauss_jordan(A: np.ndarray, b: np.ndarray) -> np.ndarray:📖 Rappel de cours
L'algorithme de Gauss-Jordan résout $A x = b$ par combinaisons de lignes de la matrice augmentée $[A | b]$.
Principe (3 étapes par colonne) :
- Pivot partiel : échanger la ligne $i$ avec celle qui a le plus grand $|A_{ki}|$ pour $k \geq i$ (stabilité numérique)
- Normalisation : diviser la ligne $i$ par $A_{ii}$ pour avoir un 1 sur la diagonale
- Élimination : soustraire $A_{ji} \cdot L_i$ à chaque autre ligne $L_j$ pour annuler toute la colonne $i$ sauf le pivot
À la fin, la matrice est l'identité et la dernière colonne contient $x$. Complexité : $O(n^3)$.
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La correction commentee, les indices progressifs, l'execution du code dans le navigateur et la verification par l'IA sont reserves aux abonnes.