Probabilités empiriques d'une loi de Poisson
Événements rares & limite de la binomiale
Enonce
Simuler n_simul réalisations de $\mathcal{P}(\lambda)$ et retourner le vecteur des $k_\text{max} + 1$ fréquences empiriques $(f_0, f_1, ..., f_{k_\text{max}})$ — on tronque les valeurs gt; k_\text{max}$ (qui sont rares pour $\lambda$ raisonnable).
Signature attendue
def probas_empiriques_poisson(lam: float, n_simul: int, k_max: int) -> np.ndarray:📖 Rappel de cours
La loi de Poisson $\mathcal{P}(\lambda)$ modélise le nombre d'événements rares dans un intervalle de temps fixe (sinistres, arrivées de clients, particules radioactives, ...).
Loi, espérance, variance :
$\mathbb{P}(X = k) = e^{-\lambda} \frac{\lambda^k}{k!}, \quad \mathbb{E}(X) = \lambda, \quad \text{Var}(X) = \lambda$
Interprétation : si $X_n \sim \mathcal{B}(n, \lambda/n)$ et $n \to +\infty$, alors $X_n \xrightarrow{(loi)} \mathcal{P}(\lambda)$. C'est la loi des petits nombres.
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