Marche aléatoire 1D — temps d'atteinte
Espérance du premier passage en $\pm n$
Enonce
Estimer $\mathbb{E}(T_n)$ par simulation : pour chaque essai, marcher jusqu'à atteindre $\pm n$, compter le nombre de pas. Retourner la moyenne sur n_simul essais.
Signature attendue
def temps_atteinte_moyen(n: int, n_simul: int) -> float:📖 Rappel de cours
Considérons une marche aléatoire symétrique sur $\mathbb{Z}$ partant de 0 : à chaque étape on fait un pas $+1$ ou $-1$ avec probabilité $\frac{1}{2}$ chacun. On note $T_n$ le premier instant où $|S_k| = n$.
Résultat théorique :
$\mathbb{E}(T_n) = n^2$
Le temps pour s'éloigner de l'origine croît comme le carré de la distance — phénomène typique de diffusion brownienne.
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