Distribution stationnaire d'une chaîne de Markov
Régime limite par itération
Enonce
Trouver la distribution stationnaire de $P$ par itération. Partir de la loi uniforme, itérer $\pi \leftarrow \pi P$ jusqu'à ce que la différence $\|\pi^{(k+1)} - \pi^{(k)}\|_\infty \leq$ tol. Limiter à max_iter itérations par sécurité.
Signature attendue
def distribution_stationnaire(P: np.ndarray, tol: float = 1e-9, max_iter: int = 10000) -> np.ndarray:Exemple
distribution_stationnaire(np.array([[0.8, 0.2], [0.4, 0.6]])).round(4).tolist()→[0.6667, 0.3333]
📖 Rappel de cours
Pour une chaîne de Markov irréductible apériodique sur un ensemble fini d'états, il existe une unique distribution stationnaire $\pi$ telle que :
$\pi \cdot P = \pi \quad \text{et} \quad \sum_i \pi_i = 1$
Deux méthodes pour la calculer :
- Itérative : partir d'une loi $\pi^{(0)}$ quelconque, itérer $\pi^{(k+1)} = \pi^{(k)} \cdot P$ jusqu'à convergence
- Système : résoudre $\pi (P - I) = 0$ avec contrainte $\sum \pi_i = 1$
On va faire la méthode itérative, plus intuitive. La convergence est géométrique, donc rapide (pour la plupart des matrices).
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