Méthode de Newton
Résolution de f(x)=0 — convergence quadratique
Enonce
Implémenter la méthode de Newton. Tester avec $f(x)=x^2-2$ (racine $\sqrt{2}$) et $f(x)=\cos(x)-x$.
⚠ Contrainte : Afficher chaque itération pour observer la convergence quadratique.
Signature attendue
def newton(f, df, x0: float, eps: float, max_iter: int) -> float:Exemples
newton(lambda x: x**2 - 2, lambda x: 2*x, 1.0)→1.4142135623746899newton(lambda x: math.cos(x) - x, lambda x: -math.sin(x) - 1, 0.5)→0.7390851332151607
📖 Rappel de cours
La méthode de Newton (ou Newton-Raphson) approche une racine de $f$ en linéarisant : la tangente en $x_n$ coupe l'axe des abscisses en $x_{n+1}$.
Itération :
$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$
Convergence :
Si $f'(r)\neq 0$ et $x_0$ assez proche de $r$ : convergence quadratique.
$|x_{n+1}-r| \leq C\,|x_n - r|^2$
⚠ Le piège : La convergence quadratique n'est acquise que près de la racine. Loin d'elle, ou si la dérivée s'annule, la méthode diverge ou oscille — d'où le compteur d'itérations maximum, qui n'est pas une précaution de style mais une nécessité : sans lui, le programme tourne indéfiniment.
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