Méthode de Simpson
Intégration numérique d'ordre 4
Enonce
Implémenter la méthode de Simpson composite. Tester avec $\int_0^1 x^4\,dx = 0.2$ et comparer avec les trapèzes.
⚠ Contrainte : $n$ doit être pair.
Signature attendue
def simpson(f, a: float, b: float, n: int) -> float:Exemple
round(simpson(lambda x: x**4, 0, 1, 10), 6)→0.200013
📖 Rappel de cours
La méthode de Simpson approche l'intégrale par des arcs de parabole sur chaque sous-intervalle $[x_{2k}, x_{2k+2}]$.
Formule composite :
$S_n = \frac{h}{3}\left[f(a) + f(b) + 4\sum_{k\,\text{impair}} f(x_k) + 2\sum_{k\,\text{pair}} f(x_k)\right]$
avec $h = \frac{b-a}{n}$ et $n$ pair.
Erreur : $O(h^4) = O(1/n^4)$ — ordre 4, bien meilleur que les trapèzes.
⚠ Le piège : Le nombre de sous-intervalles doit être pair : chaque parabole s'appuie sur trois points. Et les coefficients alternent 4 et 2 selon la parité de l'indice, les extrémités valant 1. Se tromper d'alternance donne un résultat plausible mais faux — d'où l'intérêt de tester sur une intégrale connue.
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